一、常見的除算算癖

除算的教學，對於老師或較稚齡的學生，剛開始真是折磨。不是乘法表不熟，就是不會找答案；減了法數第一位，卻忘了要減第二位。不同於乘算的教學，入門很簡單，隨著級數上升愈來愈難，是所謂先甘後苦。而除算的入門較有難度(對稚齡而言)，逐漸熟練後，愈有心得，便愈算愈容易是所謂先苦後甘。

(1) 置假商過大或過小。過大機率幾乎每個題目都會面臨，當學生做還原動作時，常會加錯位置或加錯法數，隨之便愈算愈亂了。乘算在計算過程中，學生不自覺是否對錯，但除算在計算過程中，學生大致可自覺對錯。(因為除算整數教學，當學生無法除盡時，即自覺錯誤)。所以乘算較無挫折感，初階的除算(約8級至5級)學生的自信心容易受打擊。老師在教學時，除需多點耐心，更需注意算癖的問題: 首先即是過大商的還原。

(2)首位相同的算癖，這可能是除算錯誤機率最高的題型。

例如 38,625 ÷ 375 = 103。 會有許多學生作答為130；13甚至913。

例如 10,974 ÷ 186 = 59 。 首位相同後第一個假商置6，之後碰到需還原2位法數，此類題型也常困擾學生的學習。

(3)答數中間有0，及假商置錯於隔位(左2檔) 或挨位(左一檔)的算癖。實數≧法數時，假商須置於隔位；實數＜法數時，假商須置於挨位，尤其再碰到答數中間有0的題型，錯誤更是家常便飯。

(4) 四捨五入，定位，名數間的算癖

此類問題較容易解決，也常因人而異。除算定位經常是學生搞不清楚的盲點。例如除號為什麼要算一個位數? 原因很簡單: 在筆算(直式) 商除法時，有3個空間為必要條件(包括被除數， 除數，商數)。但珠算(橫式)商除法，卻只有2個空間條件(左和右)。因此，需將除號列為一個位數，以備當被除數置於盤面時多退一個位階，來置入商數(第三個空間條件)。常見的定位算癖另包括: (1) ÷0. (2) ÷0.0 (3) ÷0.00等小數點後含0 的問題。

(5)除了上述四種錯誤頻率較高的情況外， 尚有可能的算癖較屬於學生計算的習性所引起的錯誤。例如: 不懂法商共幾位；常多或少一個位數；不滿十又碰到零之位階的誤判；以及算盤材質不佳引起的跳珠等。

二、估商是決定除算算癖的最大的因素

商除法最大的優點是筆算和珠算的計算方法是一致的。學生學了珠算和心算的除算，自然能夠反映到學校筆算的學習。首先提醒老師們，應適時加入除不盡的題目，來提醒學生明瞭餘數的意義(從8級至4級全部都是整數，也都整除，學生容易將尾數答案草率處理)。 而出題時，要求學生求至個位，並寫出餘數(記得不能四捨五入，也不能大於除數)。如此和學校的教學更能配合了。商除法最大的缺點自然是估商不易，往往須試算好幾次才能有正確的商數(即過大商並做還原動作)。過大商處理的好壞直接影響到正確率及速度的快慢，更是影響除心算能否靈活運用的關鍵。有些老師指導過大商稍嫌粗糙，可能用算盤教學除以法數1或2位即轉入除心算，或未確實讓學生做完整的還原動作，便要求能壓縮過大商次數， 結果容易造成學生過早面臨「撞牆」現象。在4 位 ÷ 2位尚可應付(因為猜前看尾即可求出2位答案，且正確性十有八九)。在5位 ÷ 2位或5位 ÷ 3 位即常常不知如何處理? 更遑論多位數或小數點的除心算了。

這裡延伸兩個子題：

(1)除算的學習過程

珠算除算的學習進度應至少至小數3級，如能夠一路學至段位當然更佳。學習進度依重要指數可分為三：

最重要	次重要	了解即可
5位 ÷ 2位，3位 (五級)	4位 ÷ 2位 (六級)	3位 ÷ 1位(8級)
小數2級	小數3級	4位 ÷ 1位(7級)
小數1級 (省略算)	小數段位	6位 ÷ 3位(4級)

從簡表中我們進一步分析：

(A) 學習 3位÷1位及4位÷1位的意義為基礎訓練，了解如何尋找商數，進一步知道隔位及挨位的作法。(不能了解也無關緊要)。

(B) 學習4位÷2位的意義為了解一個商數須連減2位法數的作法及過大商的處理。(其中過大商更要細分為過大1次，過大2次，過大3次以上及首位相同4個教學過程)

(C) 學習5位÷2位或3位，才是學生是否學習好除算的第一個關鍵點! 因為學生掌握好這階段即表示1.了解法商合計位數的意義 2.了解過大商的進階版(可能需還原二個法數) 3. 了解隔位及挨位的用意(清楚位階) 4. 有能夠學習除心算的能力(不會即早有撞牆現象)。

(D) 學習6位÷3位是強化計算速度的關鍵，並同步學習半心算處理過大商一次的問題。(即求每個商數時，先用心算(虛盤)試算是否夠減法數， 如須有還原動作，直接在算盤遞減商數一次，再實盤操作)。

(E) 學習小數3級是了解名數及無名數的意義，知道四捨五入的做法，也同步學習半心算處理過大商一次的問題。

(F) 學習小數2級是學好除算的第二個關鍵點。能更清楚四捨五入及名數間的互動，進一步學習半心算處理過大商2次，也提昇計算速度至有學習省略算的空間。此階段如錯誤過多或速度太慢，都會影響珠算及心算除算的進階。

(G) 學習小數一級重點在同步學習半心算處理過大商3次以上，也是學習省略算最佳的時機。如果順利學好省略算，計算速度至少節省1/3，有效提升正確率，且轉換至除心算更有輕而易舉的功用。

(2)首位相同的處理

首位相同是除算最花時間計算也最容易錯誤的題型。首位相同是指實數(被除數)與法數(除數) 的第一位相同，繼續比較第二位或第三位，一直到能看出實數大或實數小。如實數大應置商於隔位(左2檔)給一倍。如實數小應置商於挨位(左1檔) 給9倍(有過大商時，再依序還原遞減倍數，直到假商確認為止)。重點便在於此，當實法數第一位同為1時，有最繁複的還原動作，過大商有時4倍以上。計算不僅費時，也可能於還原過程中產生算癖。

例題：1,083 ÷ 19= 57。因首位相同皆為1，比較第2位；第2位實數小，假商由9起算，但因不斷還原，這中間便可能產生錯誤。有一個簡單的規則: 當實法第一位皆為1時，比較實法第2位之差數，我們可根據差數做最接近答案的估商。

(A)互差1或2時 -> 估假商為9倍。

(B)互差3或4時 -> 估假商為8倍。

(C)互差5或6時 -> 估假商為7倍。

(D)互差7或8時 -> 估假商為6倍。

(E)互差9時 -> 估假商為5倍。

所以同上例 1,083 ÷ 19。首位相同，第二位互差為9，所以估假商直接給5倍(而非由9倍起算還原)，減掉第一個商數的實數後(5 x 19)，剩133÷19，根據上述規則，第二位互差為6，所以估假商直接給7倍。即能較快求出正解為57。

三、除算省略算

省略算顧名思義即為節省計算過程或省略不關乎答案的步驟而稱之。在除算的題型之中，一樣有整數及小數2大部分，而小數又分數及無名數之別。除算省略算比乘算省略算有更大的發揮空間，幾乎每個題目都可運用省略算來處理。原則為 (1)須先定位確定題目佈多少位數 (2)根據題型決定求至第幾位 (3)定位之位數越低，省略空間愈多。

例題之一、整數題型(求至個位)

1,999,309,846 ÷ 270,506

定位為3位，因其題型求至個位，所以佈位數為3位 + 3位(安全位數)共6位。即在盤面上百位處置199.931(多餘位數四捨五入後棄之)

計算步驟：

(1) 199,931 ÷ 270,506

第一個商數為7，並餘下 10,577

(2) 10,577 ÷ 270,506

第二個商數為3，並餘下 2,462

(3) 2,462 ÷ 270,506

第三個商數為9，並餘下28

(4) 28 ÷ 270,506

第四個商數為1，並餘下1

所以本題答案為7,391。應注意上述過程中所消失之應計算部份即為省略的部份。最後餘數如為1或2即代表該題型可能為整除。

例題之二、名數題型(求至小數以下第2位)

$ 54,464,451.48 ÷ 5,709,062

定位為0位，因其題型求至小數以下第2位， 所以佈位數為0位 + 2位 +3位(安全位數)共5位。即在盤面上0位處置 54,464(多餘位數四捨五入後棄之)

計算步驟：

(1) 54,464 ÷ 5,709,062

第一個商數為9，並餘下3,083

(2) 3,083 ÷ 5,709,062

第二個商數為5並餘下229

(3) 229 ÷ 5,709,062

第三個商數為4並餘下1

所以本題答案為9.54。同上題，過程中所消失之應計算部份即為省略算。

例題之三、無名數題型(求至小數以下第五位)

0.002332229 ÷ 0.048123

定位為-2位，因其題型求至小數以下第五位，所以佈位數為-2位+ 5位 + 3位(安全位數) 共6 位。即在盤面上-2位處置233,223(多餘位數四捨五入後棄之)

計算步驟：

(1) 0.00233223 ÷ 0.048123

第一個商數為4，並餘下 40731

(2) 40731 ÷ 0.048123

第二個商數為8，並餘下2233

(3) 2233 ÷ 0.048123

第3個商數為4，並餘下309

(4) 309 ÷ 0.048123

第四個商數為6，並餘下21

(5) 21 ÷ 0.048123

第五個商數為4，因此位為四捨五入之位數，故捨去不進位。

所以本題答案為 0.04846。同上兩題，過程中所消失之應計算部份即為省略算。

四、看除心算及唸除心算

除心算和乘心算一樣都是訓練延長記憶並拓展位寬。也先有看除心算而後唸除心算。

看除心算訓練的重點包括：

(1) 基礎除心算要佈數並一次作答。基礎除心算包括3位÷ 1位，4位÷ 1位及4位÷ 2位。學習時將題目先佈數於腦海中或在桌面上。運算時和珠算操作一樣，寫答時不可分次，應一次完成。此階段的重點為佈數和一次作答，可訓練位寬，和建立影像。看除心算應盡量避免逐字寫答，例如1,437÷3=479。(但過程中卻分三段14÷3=4， 先寫4，接著23 ÷ 3 =7，再寫7，最後27 ÷ 3 =9，最後寫9)。如此只是為求答題，和筆算逐個計算一樣，是完全沒有訓練的效果。

(2) 過大商處理不同於珠算除算，前文提到珠算除算分階段學習時，要同步訓練半心算處理過大商倍數。除了逐次減少操作還原的次數外，最大的原因即是反映於除心算的運作。當我們隨著珠算除算的難度逐漸升級，也同時訓練過大商還原次數的減化，而反映於除心算時，就能較精準地判斷假商的倍數，可節省不必要的還原時間和減少算癖。這是非常重要的觀念: 需有耐心的循序漸進，將珠算和心算交互連結，疊床架屋，熟練過大商處理原則，當進階至多位數除心算時(5位 ÷ 2位，5位÷3位，及6位÷3位)即能快速吸收， 減少撞牆現象的產生。

(3) 看除心算至小數階段時可代入省略算的要領。即以省略算的算法來處理除心算。我們知道除算的特點是題目較長，但每求一個答數，即減少一部分題目。所以題目是逐次遞減愈算愈短。也就是說，當學生掌握：

(A) 過大商處理技巧

(B) 會運用省略算，除算的學習便是愈長愈好算，愈難愈容易，就如前述，除算如倒吃甘蔗， 先苦後甘。

唸除心算的訓練也應該注意：

(1) 題目除原有整除題型外，也應逐漸加入餘數或四捨五入的處理。不但訓練計算的速度，更貼切反應學校教學的多樣性。

(2) 唸除心算也可增加國語文口述的空間。老師可借此將數學和心算結合，做進一步的運用。例如在低年級加入量化各種單位: 有2打鉛筆，分給2位同學，每人可得幾支，還剩下多少支? 在中年級加入時間或距離的變換?在高年級加入公倍數，公因數的解法?幾凡數學的範籌，都有可能用乘，除心算的方法來解題或教學。如此將心算的運用多樣，同時也提升對數學的助益，真是一舉兩得。

(3) 此外，除心算學習效果不彰也非用更多時間來訓練除心算即可，那是治標的部份。追本朔源，我們回到加減算的檢討，先解決計算的算癖，再回歸商除法的討論，問題應可迎刃而解。

建議圖表：(加減心算和除心算的互動)

科目 階級	唸加減心算	*看加減心算	看除心算	唸除心算
(1)	2位(整數)	1位(整數)	尚未進行	尚未進行
(2)	3位(整數)	2位(整數)	3÷1,4÷1,4÷2 (八,七,六級)	尚未進行
(3)	3~4位(整數)	2~3位(整數)	4÷2(過大) , 5÷2 ,5÷3 (六,五級)	3÷1,4÷1,4÷2 (八,七,六級)
(4)	4~5位(小數)	3位(整數)	6÷2 ,6÷3 ,6÷4 (四級)	4÷2(過大), 5÷2 ,5÷3 (六,五級)
(5)	5~6位(小數)	3~4位(小數)	6÷2,6÷3 ,6÷4 (三級)	6÷2, 6÷3 ,6÷4 (四級)
(6)	6位(小數)	4位(小數)	7÷3, 7÷4 (准二級)	6÷2 ,6÷3 ,6÷4 (三級)
(7)	6~7位(小數)	4~5位(小數)	8÷4 ,8÷5 (二級)	7÷3 ,7÷4 (准二級)
(8)	7位(小數)	5位(小數)	9÷4 ,9÷5 (准一級)	8÷4 ,8÷5 (一級)
(9)	7~8位(小數)	5~6位(小數)	10÷5 ,10÷6 (一級)	10÷4 ,10÷5 (准一級)
(10)	8位(小數)	6位(小數)	11÷5 11÷6 (段位)	10÷5 ,10÷6 (一級,段位)

五、檢定和珠心算教學的互動

所謂「檢定領導教學」。這句話影響珠心算教學方向有六十年之久。

珠心算教育是最典型的文憑制度，六十年來無論檢定標準有做任何更改，老師的教學方針便會隨之調整。所以說檢定標準才是決定台灣珠心算教育能否步上正軌，能否轉危為安，能否挽回劣勢的最大關鍵。光復初期至六十年代，台灣珠算教學在教育體系，站了重要的地位，甚至影響就業和金融市場。當時是算盤的黃金時代，教學重心是珠算，打好一手算盤，前途無量。所以心算教學只是附屬，是可選擇的科目。但當時段位心算的科目及難度，以現在的角度來看，反而是最完整而全面的學習。個人以為，如將各協會段位標準改回當時的標準，應可解決目前教學上的許多亂象，並大大提升心算學習的功效。

當時段位心算的題型為: 珠心算120題，皆為實法共6位數，每題得5分，計時5分鐘；除心算120題，皆為法商共6位數，每題得5分，計時五分鐘；加減心算30題，皆為3至6位10口，每題得20分，計時4分鐘，三個科目滿分皆為600分。

評分標準為：每科至少有200分為初段，以後每多加40分增加一段至每科至少有400分為6段； 之後每多20分增加一段至每科至少有480分為最高10段。

目前大部分的協會將檢定標準定為：

a. 珠算和心算分開測驗

b. 心算為綜合題目(將乘,除,加減三科題目融合為一張試卷)。

c. 將合格分數都降低為70分，(也有協會更降為60分或將珠算和心 算都採融合為一張試卷，加計總分來評定)。

上述的現象恰好反應台灣目前珠心算教學體制所曝露出的問題。

(1) 珠算和心算分開測驗，無非是要增加檢定的收入。但導致有些老師不認真指導學生珠算的進階(要三科目同時及格才有文憑)。一昧專攻心算，製造學習假象，短時間連跳幾級，甚至上段位。但很快即碰上瓶頸。(因珠算學習斷層，無法延續心算教學) 也由於學習效果不彰，自然無法反映於數學或日常生活中。

(2) 心算試卷合為一張，在有限時間內，鼓勵學生先計算較拿手的科目以爭取分數。造成學習不平衡，並顧此失彼。低年級學生靠加減算得分，乘除算較弱；高年級學生乘除算搶分，加減算列後。再不然，時間壓力下，學生乾脆放棄除心算，試問這是正常的學習方向嗎?

(3) 及格分數降低，也代表珠心算的正確率不要求百分之百。當學生到學校演練數學，光只是計算部份，遑論能自我要求到無錯誤的境界，這不是自相矛盾嗎?我們可以告訴家長說計算錯誤只是粗心大意，而不是心算教育的弊病嗎?

當然提出問題，也要有解決方案。上述問題正好是目前台灣珠心算教學每況愈下最根源的病因。解決它們，並回歸教育本質，才是振興珠心算教育最大的課題：

建言：

1. 珠算和心算檢定再度合併，都需合格才能升級。如客觀條件無法全面實施，也可訂定四級以下皆須兩者並行。

2. 展現心算教學效果才是目前珠心算教育的根本。心算檢定便是要突顯其重要性及全面性。所以乘心算，除心算及加減心算要分科進行測試，才是上策。也才能督導老師實施全面教學。

3. 提升及格標準至80分，是最務實的做法。甚至可減少題量或增加秒數，讓學生有時間去驗算，而不只是強調速度。

4. 結合國小數學並加考應用問題。(可依報考級次或就讀年級作為命題區隔)。將珠心算融入數學，隨著學習程度，逐漸增加難度，自然而然便能顯現珠心算教學的功效及重要性了。

相關連結：乘法的算癖、加減算的算癖

本文發表於台灣九九珠算久久~慶祝2010年世界珠算日大會特刊暨文集