談九歸除法之始，不妨論述商除法的歷史。商除法可說是我國古代傳統除法算法; 當時籌算除法雖一直使用商除法，但並沒有專有名稱，直到南宋楊輝在其「算法通變本末」上。才首次出現「商除」這個特有名稱。籌算商除在「孫子算經」中雖有論述，但並無計算圖式。楊輝的「日用算法」是現存最早的籌算商除完整圖示(略)。

到了宋朝「九歸歌訣」的產生，才逐漸形成用九歸運算的歸除法。元代，算盤已普遍流行。歸除法的計算方法逐漸定型。明朝吳敬的「九章詳注比類算法大全」首先把籌算的歸除法使用在算盤上。因此，珠算歸除和商除同樣來自籌算，先有商除再有歸除，二者相異之處在於商除法求商用心算(估商)，歸除法法商用口訣;其間還有增成法、九歸古括、新括等。明、清時期歸除法更被普遍使用著;商除的名稱幾乎消聲匿跡。民國初期，小學珠算教材，試行採用商除，再經珠算從業人員研究改進，逐成為目前計算主流，在此不再論述。

在瞭解商除和歸除的歷史後;再談「二一添作五」這個台灣早期農業社會朗朗上口的”口訣”。 在此，我們就「二一添作五」到底是什麼碗糕(台式講法)，做個瞭解。依據教育部重編國語辭典修訂本:二一添作五 原本是珠算的口訣，引申為平分的意思。如：「這件事成之後，咱們二一添作五，誰也不占誰的便宜。」

今摘錄朱世杰(元朝，1299年)「算學啟蒙」中的”九歸歌”和九歸除法，供參考：

“一歸如一進 見一進成十

二一添作五 逢二進成十

三一三十一 三二六十二 逢三進成十

四一二十二 四二添作五 四三七十二 逢四進成十

五歸添一倍 逢五進成十

六一下加四 六二三十二 六三添作五 六四六十四 六五八十二 逢六進成十

七一下加三 七二下加六 七三四十二 七四五十五 七五七十一

七六八十四 逢七進成十

八一下加二 八二下加四 八三下加六 八四添作五 八五六十二

八六七十四 八七八十六 逢八進成十

九歸隨身下 逢九進成十

九歸除法門：

實少法多從法歸 實多滿法進前居

常存除數專心記 法實相停九十餘

但遇無除還頭位 然將釋九數呼除

流傳故泄真消息 求一穿 總不如

朱氏在九歸除法中談到：「按古法多用商除為初學者難入，則后人以此法代之即非正术也」但，九歸訣在一位除法的運算中固然能應付自如，可是在多位數歸除遇到法數、實數首位相同或法數大於實數，就較難用九歸訣求得初商。

綜觀除法運算過程不外乎

被除數=除數×商數＋餘數

因此”二一添作五”，”三一三十一”，”四一二十二”等口訣，實質上也是一種運籌「歸納」程序的除法。「辭海」關於:歸的釋義，”歸”者，歸結，歸并，歸納也。而古代數學大師們用這個「歸」字來為當時的新式口訣命名，稱為”歸訣”，又由於一位除數(法數)可由1到9，因此又稱為”九歸”。前述，商除之名首見於楊輝「算法通變本末」上，而”九歸”之名亦於1274年首見於楊輝「乘除通變算寶」。其後，元朝宋世杰「算學啟蒙」，丁巨「算法八卷」，賈亨「算法全集」，亦有九歸、撞歸、歸除等口訣的記錄，而這些口訣均為籌算編製的運算程序，逐成「籌算口訣」。前述，明朝把「籌算口訣」搬上算盤成為「珠算口訣」; 1592年程大位(字汝思)數學巨著，「直指算法統宗」分卷列章，專論珠算口訣。從而使這些口訣更加糸統化精確化，台灣珠算界更有奉其為「珠算祖師爺」者。

時至今日，商歸之爭仍末落幕，珠算界普遍採用商除而捨歸除時空環境之變遷，與明、清時期可謂大異奇趣，在探討同時尚祈先進略竅歸除一、二是幸。

本文轉載自國際心算abacus,舒曼音樂schumann部落格