文章摘要︰本文為劉芹英女士出席上海市珠算心算協會，華東師範大學數學教育研究所共同於2006年5月14日至15日在上海市科學會堂舉辦的「弘揚中華珠算文化專題研討會」所發表之論文。劉芹英女士自1990年起從事中國傳統數學和珠算珠心算的理論研究，是大陸珠算界目前唯一具有博士學位的研究員。

中國傳統數學有實用性、構造性、演算法化和機械化等特點，但未嚴格按照公理化數學的思想方法進行整理，在數學界越來越形成共識。到了電子電腦時代，過去那種單純推崇公理化數學而看不起數學實用性、構造性、演算法化或機械化的情況有所改變；因爲要讓機器代替部分腦力勞動，就特別需要機械化的思想方法。李儼、錢寶琮、吳文俊等先生，在這方面作了大量的研究，不僅考證了中國的數學發明，而且確立了中國機械化數學思想在世界數學中的地位,即同西方公理化數學思想一樣偉大，是世界數學發展的兩大源泉之一。這一理論觀點，使對中國傳統數學的認識進入了新的階段。

數學理論、數學思想與算具演算法之間密切聯繫、相互作用、相互促進是歷史事實。張德和先生已經作了詳細論述，其他學者也對此進行了探討。直到今天都是如此，電子電腦的産生和運用就是很好的例證。梅瑴成在《增刪算法統宗》中指出：“演算法至珠盤，簡妙極矣。……亦如篆籀八分之變楷……皆變之極，而不復返者也。”要研究中國數學的演算法化、機械化等思想方法，就必須研究珠算。不然，正像只看“篆籀八分”不看“楷”，是不能真正領略中國數學演算法化、機械化的巧妙和真諦的。如果崇尚機械化數學，卻藐視研究珠算；重視中國傳統數學，卻漠視珠算，就更是自相矛盾了。

毫無疑義，在歷史上，珠算不僅是中國機械化數學思想的産物和最恰當的實現載體，而且也影響和推動著中國機械化數學思想的發展。這可以從珠算與其他算具演算法的比較中明顯地看出來。從出土的西周陶丸可知，其原始形態和基本思想，可追溯到3000年以前。《數術記遺》曾記載了包括珠算在內的十多種算具演算法，經過汰選，最終珠算代替籌算並在實用中形成一統，在海內外的興盛時間長達五、六百年。珠算是日常生活，尤其是商業不可須臾離開的算具演算法，家喻戶曉。在資訊時代，珠算是唯一還在發揮作用的中國傳統數學的形態；也是現代中國能夠輸出的、爲數不多的實用科技之一。

顯然，中國的數學與算具演算法，是在中國的文化土壤裏生長起來的，必然受到中國傳統文化的影響。例如，珠算優越的思想方法，受到了《易經》先進思想方法的深刻影響；珠算真面目被塵封、被扭曲，受到了“重農抑商”文化的消極影響。

重農抑商是我國古代主張重視農業而限制工商業發展的經濟思想和政策。重農抑商政策産生于戰國時代，最早由李悝在魏國的改革內容中有所體現；隨後商鞅在秦國的變法中將重農抑商政策第一次明確提出，並以此作爲大力推行農戰方針的基本內容付諸實施。該政策中的“重農”主要體現在統治階級推行一系列有利於農業經濟發展的政策措施，一般有輕徭薄賦、與民休息、保障農時、獎勵耕織、抑制土地兼併，充分調動農民生産的積極性，這是有積極意義的一面。“抑商”主要體現在政府在國內設立衆多關卡，對商品徵收重稅，貶低商人社會地位等等。如中國曾有朝代規定商人不得穿絲綢織的衣服，吃飯不得用銀器，出門不得坐高頭大馬車，子弟不得參加科舉等等；並嚴重限制手工業生産規模。明代的“重農抑商”政策比以前的朝代都更嚴厲，清代也毫不遜色。明清兩代都屢次頒佈禁海令，嚴禁人民私自出海貿易。“抑商”也是阻礙中國近代向工業化發展，使中國落後挨打的主要原因之一。

正是由於珠算優越無比，所以商賈不可須臾離開。直到今天珠算仍然是商賈的象徵。但這在“抑商”文化的影響下，非但沒有給珠算帶來榮譽，反而成了珠算受屈辱的一張面具，對珠算的不良影響非同小可。學者們很少有深入研究珠算者，不僅缺乏抱著科學的態度正確論述珠算優越性之所以然者，而且往往由此對珠算進行貶抑、扭曲和醜化。例如認爲珠算是雕蟲小技，登不得大雅之堂。甚至一些學者（包括在珠算方面很有造詣的學者）在著書立說時，雖然明明是論述珠算的內容，也不願意明確出現“珠算”一詞，如明代的數學家吳敬、王文素等的著作就是這樣。現代也有書的內容雖然與珠算關係至爲密切，但作者卻竭力回避珠算。這種情況是不科學的，也是急需改變的，不能再延續到後代。

除此之外，近代西方還興起了單純崇尚公理化數學思想之風。在這種情況下，甚至連研究應用數學者都被看作低人一等，認爲應用數學上不得臺面，更不用說實用算具演算法了。近100多年來我國數學教育全盤西化，單純崇尚公理化數學的思想也在我國數學界形成主流。應用數學和算具演算法都是次等數學，更不用說作爲“商用算具”的珠算了。

一、對珠算的種種誤解

這裏，我們舉出過去一些有代表性的對珠算的評價或誤解。爲了討論的方便，對有些說法不一定註明出處。

（1）珠算只是實用之“小器”，談不到什麽“大道”，也即雕蟲小技。這些人多是不明白珠算是“元”算具演算法，應當從其基礎意義上和從發展的可能上看；也不知道現代的珠算發展到了什麽程度。如果從基礎的層面上來看，歐幾里得幾何也不過是點、直線、相交、平行之類，也是“小器”，沒有什麽“大道”；看代數也不過是“用字母表示數”，有什麽“大道”……。

（2）珠算只是適合商業的計算方式。因爲商業活動中廣泛用珠算，沒法說珠算在商業中不管用。於是就說“珠算只是適合商業的計算方式”。言外之意，珠算不能用於其他方面，不能用於數學教育。其實，在商業珠算中，3＋5等於8；在數學方程中，3＋5也是等於8。顯然不能說：珠算在商業中能用，在解方程中就不能用。

（3）珠算只能作加減乘除四則運算，只能用於生活、交易等基本計算領域。不可否認，珠算作加減乘除運算時確實很簡捷。如果由此就推斷說珠算只能作加減乘除四則運算，是不是顯得有些武斷。其實，能夠作加減運算就能夠作一切計算。人們沒有用珠算去做複雜計算，不等於“珠算不能”作複雜計算。

（4）珠算不如筆算。筆算能夠用於數學教育，而珠算不能。就現狀而論，現在學校的數學教學中都用筆算，所以說它適合數學教育；學校數學教學沒有用珠算，所以就說珠算不能用於數學教育。於是就有了結論：筆算能力大，可以作複雜計算；而珠算不行。數學教學離開了筆算不行，或數學教學不能引用珠算。沒有人問：在過去的商業活動中，會計和營業員爲啥不用筆算？很少有人持科學態度質疑筆算的缺點。

（5）用筆算作?衡量一切算具演算法的圭臬。凡是珠算不符合筆算的地方，就認?是珠算落後的表現（如珠算的高位算起）。例如，英國的李約瑟先生就認?：“珠算是計算方法，算盤是珠算的計算工具，可以有商業的應用，在小商人，小商店，小錢莊，小買賣的時代是適用的。不過‘它同所有的簡單計算工具一樣，計算的中間過程沒有保留下來，因此很難於核對。”[1] 類似的話美國傳教士明恩溥也說過，認?不能保留計算過程是珠算極其笨拙的一面。中國學者也有跟著這樣說的。其實，這些說法都是以筆算?參照標準而得出的結論。

（6）愛屋及烏，由筆算（漫布式）好，就推出一切漫布式都比程式式好。例如，有人認?籌算比珠算好。認?中國古代數學的成就都是籌算創造出來的，和珠算沒有關係。這裏的原因就是籌算是漫布式的，而珠算不是漫布式的，所以就說珠算不能表示複雜的數學內容。

（7）珠算的發展導致中國不能發明電腦。由只有漫布式好的觀點出發，走向曲解歷史；進而推斷出：珠算的程式式阻礙了中國數學的發展，或造成中國數學落後、不能發明電腦罪魁禍首。如有學者說道：“由於珠算術的發展，籌算和建立在籌算基礎上的天元術、四元術、高次方程的方程組的數位解法等宋元數學的諸多成就便進一步被人們遺忘和衰廢了。”進而還講到：“而珠算的流行，則更進一步促使以籌算爲基礎的宋元數學衰廢。”[2] “籌算的速度的確不如珠算，但籌算畢竟創造了領先世界的成就，當籌算不得不轉化爲珠算後，它必須抛卻一切成就，因爲珠算容納不了這些成果，從而以數學的萎縮換成了算術的天下。從這一發展過程可以看出珠算的勝利不啻是一場悲劇，可以說正是由於有了算盤，才阻礙在籌算沒落後出現電腦的過程。”[3]

（8）珠算是死板的機械操作，重複練習，影響了創造性思維能力的培養。沒有對珠算進行具體和科學分析就想當然的下結論。

（9）在數學教育中，用捆小棒、計數器比用珠算好。這是沒有從數學教育發展歷史中，弄清數學的優秀基因、範式的作用，就盲目下的結論。

（10）在數學教育中，用計算器比用珠算好。因爲計算器是先進的計算工具，使用方法容易學習，計算速度也比珠算快。未對珠算、計算器的基本機制和作用進行科學分析，就主張在小學數學教學中使用計算器，還屢屢要求鼓勵，造成了自相矛盾。（一方面主張多種方法，激發創造性；另一方面又鼓勵用不體現任何數學思想方法的、只是進行呆板和黑箱操作的計算器。）

（11）珠算是中國優秀文化之一，只能作爲歷史來研究。從文化遺産來看，應當保護和研究，研究珠算屬於弘揚中華文化的組成部分。如果要研究珠算的現實意義，就是誇大了珠算的價值和意義。

（12）中國數學教育要同世界接軌，怎麽能夠在數學教育中引入珠算珠心算呢？

以上只是列出了有代表性的一些觀點，顯然，還可能有各種說法。但分析其産生根源，還是來自對珠算的小瞧，不屑一顧，沒有本著科學的態度深入研究珠算；只把珠算與筆算、計算器等進行簡單對比，就下了結論。

二、中國傳統數學科學地位的確立與正視珠算的面貌

通過近代數學史家對中國古代數學的研究、考證，中國古代數學在若干方面有領先世界的創造，這是勿容置疑的事實。但 “西方的大多數數學史家，除了言必稱希臘之外，對於東方的數學，則歪曲歷史，製造了不少巴比倫神話與印度神話，把中國數學的輝煌成就儘量貶低，甚至視而不見，一筆抹煞。”[4]大多數外國科學史家，對中國古代數學是採取漠視的態度，還有的科學史家把中國古代數學的成就說成是印度的或阿拉伯國家的，歪曲了歷史事實。例如：塞迪約（Sedillot）曾說過：中國從來不曾在數學中得到任何有價值的成就，他們所掌握的數學知識是從希臘傳進去的。西方數學史研究者認爲：中國古代數學沒有理論，對世界數學的發展沒有什麽影響。如把中國發明的“十進位值制”記數法，說成是印度發明的；把祖暅原理，說成是卡瓦列利原理；把賈憲三角形，稱爲帕斯卡三角形，等等。

20世紀70年代，吳文俊先生開始了對中國古代數學的學習和研究，發現了中國古代數學最可貴的思想方法和精髓——他概括爲機械化思想方法。“‘機械化’一詞先是出現在王浩先生的論著，而被吳文俊先生選用的。”[5]他指出：“我個人認爲：貫穿在整個數學發展歷史過程中有兩個中心思想，一是公理化思想，另一是機械化思想。”“公理化思想導源于古希臘，機械化的思想則貫穿於整個中國的古代數學。”[6]“近代數學之所以能夠發展到今天，主要是靠中國的數學，而非希臘的數學，決定數學歷史發展進程的主要是中國的數學而非希臘的數學。”[7]“不妨把構造性與機械化的數學看作是可以直接施用于現代電腦的數學。”[8]“現在是所謂‘第三次浪潮’，是電腦、資訊時代。我國古代數學的精髓是一種機械化的思想，這種機械化的方法，正好符合于現時代的要求和狀況。”[9]這使人們明確了機械化數學思想方法，不僅與公理化數學思想方法有同等的重要意義，而且在電子電腦時代更重要、也更有用。從而有了揭開人爲地給珠算帶上扭曲和醜化面具的理論利器，使我們有了看到珠算真面目的可能性。

珠算徹底而恰當地體現了機械化數學思想方法，它與電腦“在基本原理機制上一致；在系統上相似；在語言上相通；在方法技巧上可以共用。”“珠算是形象化的電腦，電腦是武裝以電子技術的珠算。在實際運用中二者相得益彰。”[10]，現在看來，除珠算外，找不到與電子電腦更貼近和一致的算具演算法。

在算盤上，算珠不僅能進行計算，還能夠排出珠圖，如“蝶雙飛”、“獅子滾繡球”，等等。顯然，這十分貼切地體現了電腦圖形方式——數位化圖形思想方法，以及數形結合的思想方法。彌補了過去幾何教學內容的不足。

三、樹立科學的珠算觀

請看大數學家拉普拉斯是怎樣評價的。他指出：“用十個記號表示一切的數，每個記號不但有絕對的值，而且有位置的值，這種巧妙的方法出自印度。這是一個深遠而又重要的思想，它今天看來如此簡單，以致我們忽視了它的真正偉績。但恰恰是它的簡單性以及對一切計算都提供了極大的方便，才使我們的算術在一切有用的發明中列在首位；而當我們想到它竟逃過了古代最偉大的兩位人物阿基米德和阿波羅尼的天才思想的關注時，我們更感到這成就的偉大了。”[11>（筆者注：說十進位值制“出自印度”是錯的。）

如果我們本著拉普拉斯這種研究精神來研究珠算，就可知這不單是“雕蟲”，也是如同研究十進位值制一樣是在“雕龍”，過去我們確實忽視了珠算的真正偉績。現代有一些珠算家向這個方向做了努力，不僅有了重大發現，而且還取得了一系列鮮爲人知的重大成果。例如，郭啓庶教授的研究工作，就是有力地證明。他通過研究發現，珠算符號和模型顯示著中國古人的偉大智慧。下面論述中，引述的多是他的研究成果，就不一一注解了。

（一）阿拉伯數碼符號與珠數碼符號
　　用10個符號之所以能夠表示一切的數，其中有兩個因素：數碼符號和位元值制。現代誰也想不出更好替代位值制的方法，但10個數碼符號是可以更換的。現在我們來看另一種數碼符號。
衆所周知，算盤是如下表示數：

可以看到，珠算表示數是更徹底地採用了優越的位值制。各位用檔杆表示更鮮明，而且確定無歧義，不僅左位元相同的符號表示的值是右位的10倍，而且梁上的一個算珠表示的值是梁下同樣一個算珠的5倍。這尤其顯示出了古人更高的智慧，使得只用一個元素的運算元（算珠），能夠用累數和位值思想方法構造出10個不同數碼符號，集成了人類一切優秀記數思想方法的精華，使珠算符號化獲得成功。珠算符號不僅形象、直觀，也是世界上獨一無二的既體現累數制又體現位值制思想的數學符號。現在科技發達，人的智慧更高，有誰能夠再設計出比珠數碼符號更優越的數碼符號嗎？想一想就知道這是何等的了不起了。

可以說，位值制只解決了“位”可賦予不同值的問題，並未涉及位元上的“記號”如何設計得更好的問題。而珠算既解決了“位”可賦予不同值的問題，還解決了每個位元上 “記號” 巧妙設計的問題。

現在我們把珠數碼與阿拉伯數碼符號來進行對比：

（1）阿拉伯數碼：0，1，2，……，9，是10個各自特殊的符號，唯一優點是容易書寫。而10個珠碼，卻只由一個元素（算珠）構成，而且巧妙裝置在算盤上，操作起來更方便。

（2）阿拉伯數碼只是抽象的符號，既不能體現累數制思想方法，又不能體現位值制思想方法，也不能體現數學的任何思想方法。而珠碼符號既體現累數制思想方法，又體現位值制思想方法，還有體現了數位化幾何的功能，等等。珠碼既形象又直觀，所包含的數學思想方法和內涵也十分豐富。

（3）阿拉伯數碼沒有計算功能。如6＋2：不能憑藉符號“6”、“2”得出符號“8”，只能靠死記硬背。而珠碼符號有計算功能，與兩個符號拼在一起就是符號

這是其最突出的優越性。從而能夠得到了26個算母，如同26個拉丁字母能夠拼出一切英語辭彙一樣，拼排26個算母就能夠完成一切計算。

（5）阿拉伯數碼除了書寫它之外，沒有第二種操作方法。而珠碼符號，既可以寫畫出來表示程式，又可直接在算盤上用手指撥動操作，拼排算母自動得數，同時完成運算。

（6）阿拉伯數碼是一元示數。要表達正、負數，需要另外附加上＋、－號來加以區別，不自然。而珠碼符號是二元示數，對立統一，處理正、負數自然天成，左右逢源，從而使幼兒就能夠學會正負數的計算，使整個數學教學大爲簡化。

（7）阿拉伯數碼要在某位上寫數碼，從運算的一步到下一步，每個數碼無論是否改動，都必須重新寫出。而珠碼已在各檔設置好了各種狀態，需要誰就將它撥出即可。

（8）寫阿拉伯數碼佔用的儲存空間太多。如紙上一個儲存單元，寫上某個阿拉伯數碼後，永遠不能再作它用，因而不適合腦算和電腦。珠碼符號省儲存空間，一檔就能夠撥出十個碼，而且每個儲存單元都可以用了再用，從而可普遍適用於手操算、腦算和電腦。珠算法是手腦機通用演算法；而筆算既不適合腦算，又不適合電腦。

（9）阿拉伯數碼沒有表示幾何圖形的功能。操作阿拉伯數碼符號，不能體現數形結合的思想方法。而珠算符號、模型有表示幾何圖形的功能；操作珠算符號運算，從幾何的角度看就是在進行圖形變換，能夠透徹地體現數形結合的思想方法，還特別能夠體現數位化幾何的思想方法。

綜上述珠算符號的優越性，多是世界上獨一無二的。如果在數學整體中運用起來，珠算的真正偉績如何？將會是史無前例和無法比擬的。只是直到現在，珠算的優越性還未得到運用的機會罷了。所以說，珠算符號、模型是人類最高智慧的顯示之一。

（二）筆算模型與珠算模型

下面以26＋53＝79爲例，對分別用筆算、珠算和電腦的實現方法，或運算模型進行對比分析：

筆算列豎式，抄寫多、占儲存單元多，而且速度也慢。珠算只是在算盤A段，已知數和得數都儲存在A段，而且這段可以用了再用；運算只需撥入兩個數，相當於筆算豎式還未列出時就完成了計算，運算速度很快，而且不需要背加法九九。如果需要知道運算過程，可以寫出程式、看程式；這種模型還適合腦算（即珠心算）。電腦運算模型採取的正是珠算模型方式，不過不是用手撥動，而是運用電子技術驅動的；從程式上看與珠算完全一樣。所以說，珠算法是手操算、腦算和電腦通用的演算法模型。目前，在世界上也只有珠算法是手腦機通用演算法。

從此例，很容易對比出筆算與珠算的繁簡優劣，明白筆算與電腦演算法是矛盾的。電腦特別需要省儲存空間，怎麽會採取筆算模型？電腦程式中，式子A＝A＋53的涵義，用以筆算爲基礎的數學（現行中小學數學）解釋不通；而聯繫珠算模型，不用解釋就一目了然。A表示儲存單元（A段），A＋53表示在算盤A段的數上再加53，得的結果還儲存在A段，所以A=A+53。

看了以上對比的事實，就會知道，說筆算比珠算好完全是搞顛倒了。這是什麽原因？發人深省！

（三）漫布式與程序式

從上例還可以看到，筆算豎式是漫布式的，而珠算是程式式的。所謂漫布式計算，就是不僅要求得到計算結果，還要把計算過程的細節都做記錄漫布出來。所謂程式式計算，就是把一步接一步的做法明確起來，直到給出計算結果。雖然中間過程的細節也都呈現出來，但並不硬性要求必須記錄下來。

筆算必須把中間數目，甚至連進位元的點和退位的點都記錄下來。有的數目或符號還要重復記錄，不然計算就進行不下去，這就是漫布式的涵義。珠算在計算過程中，雖然各步也呈現出具體數目，但完成了下一步，原來的數目就消去了，最後只呈現得數。

漫布式是把各有關的數目、符號等都具體擺出來，想看哪一部分都行。而程式式只能看到最後一步的計算結果，其他就看不到了。過去，許多中外學者只看到了筆算漫布無遺的“好處”，就加以誇大，認爲筆算完美無缺。從而進一步推斷出籌算好，以致推出：漫布式的計算方式都是好的，並認爲珠算不能漫布式就有“根本缺陷”。而且認爲珠算無大用，特別在數學裏無用。

其實，正因爲筆算是漫布式的，要把運算過程細節都寫出來（實際上，即便用漫布式也不能把過程細節都表示出來，如上例6＋3得9、2＋5得7是怎麽算的就沒有表示出來），就輸掉了速度。而且，還要佔用大量的儲存空間。過去會計算賬之所以都不用筆算，並非因爲他不會筆算，而是因爲筆算存在的這兩個缺點。試想，用筆算算賬該多麽慢，客戶能夠容忍嗎？再說，搞一次結算，需要準備多少演草紙！而用珠算不僅快，而且一把算盤就足夠用了。筆算的這兩個致命缺點，特別地使電腦不能容忍！因爲電腦既要追求極高的速度；又要追求製造的低成本。如果採用筆算的漫布式，電腦的記憶體要設置多麽大才能滿足需要？簡直無法想象。

再者，解決實際問題，僅用漫布式是不夠的。比如，解決一項複雜的問題，如果把中間過程和數目都漫布出來，且不說緩慢的問題；單看儲存，不僅一張紙不夠，可能一個桌面、一個房間，甚至一個操場……都不夠！怎麽辦？只能一步一步來，使得每步不超過一張紙面，這樣就又走到了程式式。換句話說，即便用漫布式解決問題，終究也是離不開程式式。

由此可見，過去國內外某些學者說筆算能夠表示過程、便於復核，是根本優點；而珠算不能夠表示過程是笨拙的，是根本缺陷，是沒有科學根據的臆造。筆算必須詳細記錄過程，就造成它佔用大量儲存單元和計算速度緩慢，這是個大缺點；因而腦算和電腦都不可採用筆算模型，會計人員算賬也不採用筆算。如果說，筆算的漫布式便於復核，也站不住腳。因爲，如果複雜的計算出了錯誤，錯在哪里？還是得從頭複算，找到了一處錯誤，還擔心別處也有錯，結果也是要複算到底。這往往還不如珠算乾脆重算一遍，看兩次結果是否一樣。

另外，說珠算不能表示過程也是沒有根據的。珠算既可以運用自然符號語言表示程式，又可以運用珠算符號語言表示程式，這就具體表示出了過程。珠算教科書都是這麽寫的，珠算過程十分明白。不是珠算不能表示過程，只看需要不需要表示過程，需要（如寫教科書）就記錄出過程來，不需要（如營業員算賬）就不記錄過程。這比筆算不論需不需要都必須記錄過程要高明得多。對此，我們可以以下象棋爲例，如果要切磋兩位象棋大師的棋藝，就記錄過程，這就是棋譜；如果只是兩個人下棋消遣，只管走子對弈，就不記錄過程，看最後誰獲勝就是了。這就是過程可記錄也可不記錄，只看是不是需要？珠算程式式的精神就是如此，難道不好嗎？如果不問情況，棋子每走一步都把棋盤抄寫下來，就如同筆算的漫布式那樣，不笨拙嗎？能行得通嗎？

至於說 “而珠算的流行，則更進一步促使以籌算爲基礎的宋元數學衰廢。”“籌算的速度的確不如珠算，但籌算畢竟創造了領先世界的成就，當籌算不得不轉化爲珠算後，它必須抛卻一切成就，因爲珠算容納不了這些成果，從而以數學的萎縮換成了算術的天下。”更是沒有根據的臆測。其實，用珠算比用筆算和籌算簡捷得多，只是歷史上沒有人用（或古籍中沒有記載）而已，並非“珠算不能”。已經證明珠算與圖靈機具有相同的計算能力，凡是可計算的問題都能夠用珠算解決，只看你用或是不用珠算？或是有沒有編程的智慧，會不會用珠算。

這裏我們舉一元三次方程，看看用珠算能不能解？是不是很簡單？小學生能不能掌握？

例1．解方程 2x3－15x2＋9x－19 224

對於此例如果用筆算，現在有多少小學生、中學生，甚至大學生會解？此例說明：

（1）用增乘法解解高次方程，並非只有採用漫布式的籌算才可以實施，用程式式的珠算不僅能夠實施，而且比用籌算簡便得多，速度也快得多。而且，用程式式的珠算還能夠簡明地論證增乘法解高次方程的道理。

（2）並非只有如籌算漫布式那樣的筆算，才能夠用增乘法解高次方程；也不是只有筆算的漫布式才能夠說明解方程的計算方法（現行教材中連筆算解高次方程也沒有，事實上用筆算需要另外列許多算草，很繁瑣的）。這裏，用珠算程式也能夠很好地說明解方程的計算方法和步驟；特別從簡捷性上來看，珠算與筆算是不可同日而語的。

（3）不僅用珠算解高次方程簡捷，用珠算解方程組、解不定方程、解同餘式組等等都非常簡捷。珠算不僅做整數、小數計算，做分數變換和運算，求連分數、近似分數，求多項式的值等等，都比筆算簡捷。說珠算不能做複雜運算，是沒有事實根據的。不是“珠算不能”做，而是看人們能不能編制出解題的程式，即有沒有編程式的智慧。

（4）由漫布式的籌算或筆算解高次方程方法，不能直接改編成電腦程式。要用電腦解決需要另起爐竈，按照程式式的思想方法從頭學起。而由程式式的珠算解高次方程的方法，即珠算語言程式，就可以直接搬到電腦上，無非改變一些命令符號而已。

這裏，關於例1的珠算語言程式改成電腦的BASIC語言程式如下：

當然，電腦沒有人操作算盤那樣的靈活性，也沒有以此類推的能力。所以，編制電腦程式要呆板複雜一些，要編成適合一般高次方程情況的電腦程式，還得費些功夫。但程式結構（或思想方法）與珠算程式是完全一樣的。

總之，單純強調漫布式好，貶低和排斥程式式是不智的表現。如果過去還能夠勉強說說要突出筆算，排斥珠算云云；那麽，在電子電腦時代，這種說法就說不過去了。

（四）摘掉人爲戴在珠算上的扭曲和醜化面具

瞭解和清楚了珠算符號、模型的優越性和珠算程式式在電子電腦資訊時代的意義，以及珠算的幾何教育功能等。過去因爲“抑商”和“崇洋”而戴在珠算上的扭曲和醜化的面具，就自然地脫落了。其他一些說法也就自然的煙消雲散了。例如：

1． 珠算只能夠作簡單的四則運算，只是商業算具、不適合數學教育。

珠算做加減運算的速度，不僅筆算難以望其項背，連計算器也比不上。乘除是加減的程式，一切其他計算都是四則的程式，歸根結底還是加減的程式。正像筆算漫布式必須以“豎式”爲載體，珠算程式式必須以“程式”爲載體。所以學生在熟悉珠算的過程中就熟悉了程式，因而編程能力比現在按筆算學習的學生的能力要強。有了編程能力就可以編制數學中任意複雜計算和解題的程式，也就不會有：珠算只能夠用於商業簡單四則的計算，不能用於數學教育的臆斷了。

2．珠算呆板，不利於培養學生的思維能力。

顯然，“說珠算呆板，不利於培養學生的思維能力”是把珠算與筆算對比而說的，而這種說法恰恰是說顛倒了。因爲筆算對比珠算，才可以說非常呆板的。例如不論幾加3，都是接著它往後數3個：3＋3，就4，5，6得6；5＋3，就6，7，8得8；9＋3，就10，11，12得12。然後再死記住得數，以備後用而已。而用珠算，這3題要分別用“下7”、“梁3”、“進框7”3個算母，珠算多樣化，更利於培養思考能力。再如，6×8＋5可以有哪些演算法？哪種最簡單？用筆算可能連兩種演算法就難以說出來。而運用珠算

可以運用算盤排出珠圖（即數位化幾何圖），運用珠面積和位值制計數法精神，立刻可以寫出6種演算法，顯然5×10＋3最簡單。單看8×6，按現行教材，頂多會用九九口訣求出是48，或者8＋8＋8＋8＋8＋8得出48。而引入珠算不僅能夠這樣算，還可以憑藉珠碼由8直接“雙進半”得出48，至爲簡捷。如此種種，珠算比較筆算有多麽大的啓發性，其中的數學思想方法多麽豐富，培養思維能力強多少倍！

單從培養邏輯思維能力的層面看，筆算只是用“三段論式”；而珠算不僅如此，還要用比三段論式更全面的“四段論法”。從論證命題，證明定理的角度看，珠算命題也是豐富的，證明過程也是奇妙而富有啓發性的，如朱世浩教授對於珠算命題的證明，就是非常精采的證明。

3．數學教學用小棒、計數器比珠算好。

得出這種結論的思想認識主要出於貶低珠算，而不是進行科學分析研究的結果。現行數學教材中寧肯用捆小棒的方法，用所謂計數器（即每檔串10珠的俄羅斯算盤），而忌諱用中國的珠算盤。

捆小棒是體現西歐古代典型的累數制記數思想方法的。由於這種計數法極端繁瑣，約從16世紀開始不得不採用東方的十進位值制記數法。但西歐（後傳遍世界）只是計數改爲十進位值思想，其他仍然停留在累數制思想的層面。如講道理、處理數量都要回到累數制思想，所以，依然十分繁瑣。如“8675”什麽涵義？要答是8個千，6個百，7個十，5個1，這還覺得沒有理解真切，於是選擇了捆小棒：10個小棒捆1小捆（十），10小捆再捆成中捆（百），10中捆再捆成大捆（千）。如此可使學生理解“8675”是8大捆6中捆7小捆另5根（這樣多累！），就是把“8675”理解成千千千千千千千千百百百百百百十十十十十十十11111才算到位，繁嗎？笨嗎？！這樣下去麻煩更大，如8675×947，當“9”與“8”相乘時，要說成9個百乘8個千，得72百個千，“1百個千”是“十萬”，就是72個“十萬”，就是7百2十萬，即7200000……繁不繁？！

說“8675”是“千位是8、百位是6、十位是7、個位是5”不行嗎？有歧義嗎？會給後來的數學造成麻煩嗎？8675×947，當“9”與“8”相乘時，就想9在3位，8在4位，碼積72從（3＋4）位即第7位入不行嗎？會錯嗎？

如果再往後面看，處理數量（如貨幣、長度、重量等等）都要用累數制思想，造成的麻煩有多麽大？需要多花費多少寶貴的教學時間？如果都改用位值制思想來講道理，那該對現行的數學教學有多大的簡化作用！現在能夠看出小棒體現的思想方法是多麽落後了吧。而珠算只在5以下的數體現累數制思想，其他情況都是體現位元值制思想，多麽先進，多麽簡捷！幼稚園、小學教計數，爲什麽不用先進的珠算而要用小棒？

現在學校數學教材採取的另一個“利器”就是所謂“計數器”（每檔十珠算盤），可以彌補一點用小棒的不足。這是把中國算盤“改退”了。中國算盤取五升制既能保證準確和高速度，又使符號化成爲可能；是位值制思想更巧妙的運用，也正是中國古人偉大智慧的體現。你用十個珠表示數，表示6、7、8、9的珠集合，能夠一眼看出不混淆嗎？心理學家耶文斯實驗證明，五個以內的離散集合的基數才能夠準確無誤高速地分辨。如果說取消“五升制”可以降低難度，照此推理，取消十進位也可以降低難度，可以做成每檔100顆珠的算盤，連“湊十”的數的組成也不用記了；還可以做成每檔1000珠、10000珠……的算盤。可以嗎？

那些採取計數器而排斥、忌諱中國珠算，教材中對“珠算”字眼、算盤圖形唯恐躲之不及的做法，是怎麽想的？真正使人百思不得其解，也令人感到非常的莫名其妙。

4．小學數學教學用計算器比珠算好。

主張在小學數學教學中用袖珍計算器的人，總給人以既賣矛，又賣盾的感覺。一方面他們甚至認爲培養“計算技能”沒有意義，影響培養學生創造性思維；另一方面卻又大力主張用計算器。要明確，計算器不同於電腦。電腦可以通過編程解決各種各樣的問題，編程需要智慧，能夠有效地培養思維能力。而計算器只是一個黑箱，按照說明書照章操作就是了，如同查計算表一樣。既不能使孩子看到電腦制、明白計算道理，也不能培養他們的腦算能力，如何通過它來培養創造性思維？通過它甚至連電腦演算語言和演算法程式也體現不了，也沒法體現和教學……。

珠算相對于計算器而言是白箱，把其電腦制和道理體現得淋漓盡致。而且實現的途徑和方法也可以多種多樣，極有利於培養學生的創造性思維能力。把珠算符號模型內化就是腦算。衆所周知，珠心算是最容易學習而且效率最高的腦算。此外，前面已經述及，珠算是電腦的唯妙唯肖的模型，最有利於教學電腦演算法，培養創造性編程的能力。

從數學教育、電腦教育和培養創造性思維能力的角度來看，珠算比計算器要強不知多少倍，怎麽能說“小學數學教學用計算器比珠算好”！真是徹徹底底地搞顛倒了。

上面的分析討論，雖然是初步的；在可比的條件下，已經清楚地看到了珠算的優越性。不僅歷史上已經證明：它在與其他算具演算法比賽中，經過人們的汰選，形成其一統天下又普遍使用五百多年。就是在現代，尤其在數學教育和電腦教育中仍然有無比的優越性。認爲它只是歷史文化，沒有現代意義，是沒有科學根據的；是對現代珠算不進行研究，仍然抱著歷史醜化珠算的假面具不放而無端藐視珠算的妄言。

至於說數學教育要與世界接軌，更是令人無法理解。許多方面都存在著與世界接軌的問題，但我國的數學教育不存在這個問題。因爲，從100年前開始數學教育已經全盤西化了，中國傳統數學被排斥得乾乾淨淨。中國現代數學教育不是與世界接軌的問題，而是如何提高自身水平、改變西方數學帶來的繁瑣落後的東西，吸取中國傳統數學優秀的思想方法，有效地提高數學教育水平並推動世界數學教育發展的問題。

（五）樹立科學珠算觀

我們應該樹立民族自信，本著科學精神，運用科學思想，抱著科學態度，運用科學方法來研究珠算、認識珠算、看待珠算和充分運用珠算。抛棄由於“抑商”、“媚外”等原因強加給珠算的扭曲和醜化面具，還珠算以本來面目。樹立珠算的科學地位，弘揚珠算文化，自主創新數學教育。這就是樹立科學珠算觀的大體涵義。根據現在已經獲得的研究成果，科學珠算觀的基本內容如下：

1．珠算是元算具演算法。應當從基礎層面研究珠算，看待珠算的意義和作用；在可比條件下與其他算具演算法進行比較。珠算符號有運算功能，由珠算符號化獲得了亙古未有的算母，拼排算母自動實現計算；珠算具有普適性、一體性和二元示數等特性，珠算法是手腦機通用演算法。這些在世界上都是獨一無二和優越無比的。珠算與圖靈機等價，凡是可計算問題都可以珠算解決。

2．電腦與珠算。基本原理一致，系統相似，語言對應，程式相當，方法技巧可以共用。珠算還能夠體現電腦圖形數位化幾何思想，珠算與電腦在應用和教學中相得益彰。珠算是形象化的電腦，電腦是武裝以電子技術的珠算。

3．珠算的實用意義。直接操作算盤解決實際問題比之過去會逐漸減少，但由珠算內化而成的腦算（珠心算），是最易學、效率最高和功能最強的心算。實用中永遠需要心算，因而從這個角度說，珠算永遠有實用意義。

4．珠算引入數學教育，以其基因、範式編織數學課程知識結構。可以使數學教學簡易、高效而現代化，既減輕負擔，又提高質量。使數學教學與電腦教學自然整合。

由此可見，珠算不僅有作爲歷史文化的輝煌，而且其現實意義和作用也是巨大的。珠算是一座蘊量豐富的大寶藏，現在開發出來的，也只是初步的成果。

四、自主創新數學課程知識結構

兒童學習心理學研究，大多注意兒童與成人學習的區別，卻很少注意現代兒童的學習與原始時代兒童學習的區別。但可以想象：原始兒童與現代兒童在學習上的差別肯定是非常懸殊的，也許前者一年學習到的東西還趕不上後者一個小時學的。原因何在？主要是在於現代兒童學習時，能夠運用前人創造的優良的基因、範式（如文字、符號、圖表、方程等等）。從這裏我們也可以看到，優良的基因、範式是多麽重要！

如果從基因、範式的層面看，是不是現行數學課程知識結構已經包攬了世界各個民族的智慧創造，特別的，是不是涵蓋了中國傳統數學優秀思想方法？顯然，回答是否定的。例如，從珠算（珠算式心算）、筆算（筆算式心算）的對比中，就可以得到證明。

顯然，從基因和範式的層面上，對數學課程知識結構進行改革是第一重要的。例如，

在農業上，很注重改良品種而不只是注意改善種植條件和管理技術。袁隆平運用有性雜交改良水稻品種，有多麽大的作用，不僅農業科技界，而且社會各界對其成果都給予了很高的評價。教育教學上有沒有“改良品種”的問題？顯然，各課程的教學理當有“改良品種”（改進課程知識結構）的問題，而不只是改善“種植和管理技術”，即不只是改善教學方法或改變教學時間。在課程教學上，“改良品種”的功效不亞於農業上的改良品種，幾億學生節約時間、提高質量，同水稻提高質量和産量的意義相當。區別在於：一者是精神形式，一者是物質形式而已。教育界是不是也應當倡導“改良品種”，從“基因”、“範式”上下功夫，培育“新品種”？道理是明擺著的。“優因數學”就是本著這種精神，考慮和研究數學課改的。

所謂優因數學，就是融合中、西數學優秀基因、範式而構造的數學課程知識結構，以及按照此結構編寫的教材，來進行數學教學。目前，郭啓庶教授創立的優因數學，特指融合西洋數學符號化思想方法、邏輯性，與中國傳統數學之珠算符號、運算模型、珠圖、率思想方法、機械化思想方法等等，編織建構的簡易、高效與電腦自然整合的、現代化的數學教學知識結構；以及以國家數學課程標準爲底線編寫的教材，進行的教學實驗。現在已經實驗到四年級，實驗效果符合預期。具體情況有文章、書籍專題介紹，這裏就不詳述了。

優因數學採用珠算符號和模型，其簡化作用是巨大的。歷史上，西歐從16世紀開始採用中國的十進位值制和印度—阿拉伯數碼的筆算，替代了羅馬數字的累數算；其簡捷性現在是公認的，從而傳遍全世界。今天用有計算功能的珠算符號、模型，替代沒有計算功能的與電腦運算模型矛盾的阿拉伯數碼的筆算，其簡化作用是有過之而無不及。尤其能夠適應電子電腦資訊時代的需要，它也必將能夠傳遍全世界。

特別，優因數學又把中國傳統數學“以率爲綱”的率思想方法等作爲基因、範式引入數學，還充分發揮符號化思想方法的作用，構建新的數學教學知識結構，其優越性就更多更大。這樣，中西融合數學，必然創造出一條有中國特色的新路，能夠有力地弘揚中華民族優秀文化，培養民族自豪感。既積極學習國外，又努力發掘中國優秀傳統；比那種全盤西化、全盤照搬，在實現價值觀培養目標上的作用，真正有天壤之別。總之，優因數學倡導全方位的中西優秀基因、范式融合的數學課改，必然能夠達到既減輕負擔，又提高質量的目的。同時，優因數學通過融合中西數學優秀基因、範式，構建課程知識結構，使數學教學達到簡易、高效而現代化，因而普遍適用於各種教學方法的課改需要。因爲無論何種數學課改（西方式的，東方式的；啓發式的，訓導式的，以及在各式之間求平衡點的）都需要教學數學知識和實現價值觀目標，因而都需要簡化的、高效的、現代化的和蘊涵著豐富優秀思想方法的數學課程知識結構。

參考文獻

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2006年5月14、15日於上海市舉辦之弘揚中華珠算文化專題研討會