珠算是我國寶貴的文化遺產，一千多年來，對我國的經濟發展和社會繁榮曾做出重大的貢獻。它具有優越的計算功能、教育功能、啟迪功能。目前，珠算在計算領域裡仍佔有很重要的地位，在國際上也令人拭目以待。其算具、算理、算法通俗運用又充滿辨証哲理，很有必要認真進行探索。

一、算盤

算盤是珠算的計算工具，分檔穿珠。上設橫樑，五升十進，運算方便快速，代籌算而興千年不衰。我國文學名著《紅樓夢》第二十二回中有一首以算盤為謎底的燈謎詩︰“天運人功理不窮，有功無運也難逢，因何鎮日紛紛亂，只因陰陽數不通。”天運即為算理算法，人功即撥珠運算，陰陽分別指上珠和下珠，古代有奇數為陽，偶數為陰之說。《易經》中以一一與一兩個最簡單的幾何圖形為基礎，分別說明陰陽之間的辨証關係，橫樑把算盤分為陰陽兩個部分，也可以說與八卦的建構原則同出一轍。八卦的組合原則是三次的一分為二。《易、系辭》雲︰“易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦，八卦定吉凶。”而我國古代算具中有兩儀算，它是珠算的前身，這和太極兩儀的陰陽之道並非是偶然的巧合。

東漢《數術記遺》一書中也談到“兩儀算，天氣下通，地四時”已經有上珠下珠之說，下珠黃色，從下而上，分別在各刻上線內表示一、二、三、四，上珠青色，從上而下，分別在各刻線內表示五、六、七、八、九。我國的太極圖（俗稱陰陽魚）幾乎包含了中國古人對立統一規律的全部理解。天、上、男、太陽等為陽，地、下、女、月亮等為陰，兩儀算中青色上珠自下而上，故稱天氣下通，理屬陽；黃珠自下而上，而恰好表示一、二、三、四，故稱地四時，理屬陰。之后的老式算盤上珠二顆，下珠五顆，改革型的現代算盤上珠一顆，下珠四顆，其上下一奇一偶，是為陰陽。特別是近代算盤上一下四的算珠架構對珠算基本算理五升十進發揮了更大的作用。五升是珠算不同其他計算工具的獨特之處，漢文化中“五”對中華民族的發展起得作用太大了，特別是五行（金、木、水、火、土）之說，而如今的五味、五官、五金等仍然深深地滋養中國的文化仍至漢語的架構。可以說算盤本身就是陰陽五行律結合的成果。五行的具體概定是下珠，五行的理論內容是五升，一顆下珠靠梁為陽（奇數），兩顆下珠靠梁時為陰（偶數），三顆為陽，四顆為陰，五顆為陽時也可升為上珠一顆仍為陽，而六則為上珠的一和下珠的一兩陽合陰，七為陰陽合陽，八為兩陽合陰，九是陰陽合陽，十為兩陽合陰，或以兩顆上珠靠梁表示為陰，或以進位成一，左檔成陽，由右陰轉左陽。升五后同檔上、下珠組合表示的數（6至9）仍然是同一個數位上的數，而不上上珠表示一個數，下珠表示一個數。即使上下珠全部靠梁，所表示的數也只能是一個數位的數9，和蘇州碼的前身算籌記數吻合一致，即一二三（其中的后來也演變為）把橫線喻為下珠，豎線喻為上珠，和算盤上的靠梁珠數是完全相同的。陰陽是對立的，上下珠是矛盾的，但在算盤的示數中得到了統一。在一架算盤中，橫樑上下有陰陽，上下珠分有合也有陰陽，左右檔中仍有陰陽，形成了相互聯結、相互依存的辨証關係，算盤為我們展示了一個既普遍聯繫又普遍制約，充滿著同一性和鬥爭性關係的豐富多彩的多側面又全方位的客觀世界。除此之外，內珠和外珠這對矛盾在二元示數法的聯繫下得到了統一，內珠與外珠之和是9的循環數即（10N-1），充分體現了珠算不同于任何計算工具的特有的功能。

列寧指出︰“可以把辨証法簡要地確定為關於對立面的統一學說。這樣就會抓住辨証法的核心。”對立的統一規律揭示了普遍聯繫的根本內容，唯物辨証法認為，聯繫的根本內容就是相互區別、相互對立的矛盾雙方之間的聯繫，從這種聯繫出發，兩個互相排斥的對立面就得以統一。《紅樓夢》的天運人功、陰陽之說到算盤架構的上下珠、內外珠、頂底珠、實虛珠、框梁無不是一對對的矛盾，又無不是一個個的統一。值得一提的辨証法中質量互變規律所揭示的質和量、質變和量變的關係也體現下算盤中，當下珠從量加到4后，這些量變並沒有發生質的變化，均示數在下珠，為陰之狀態，但是由4增加到5時，則發生了質的變化，即為五升，上珠靠梁，化陰為陽；從5增加到9這時量發生的變化均為同一位數，撥珠在同檔進行，而由9加1的到10時，那么右檔量的變化引起左檔質的變化即為十進。足以見，小小算盤從古老樸素的陰陽之說到揭示事物變化發展的內在動力和客觀規律，令人情不自禁，無不為偉大祖國的燦爛文化、為中華民族的聰明才智感到光榮、感到自豪。

二、算理算法

珠算的加減法是一切運算中的基本方法，而它們之間的互逆運算是一對矛盾也是相互聯繫的統一體。透過加中有減，減中有加而達到正確運算的目的。一般來說，學習珠算總是把加減法分為四大類結合起來。第一、直接加和直接減，也就是在本檔上直接撥珠靠梁或離梁；第二、升五加，破五減；第三、直減補進十的加法和直加補退十的減法；第四、破五進十加法和退十升五減法。除第一類的純加純減外，其他三類都形成了加而減，為減而加的撥珠方法，如升五加的4+1，外珠不夠加，又不涉及到高一檔（進位），而應該撥上珠靠梁+5，卻多加4，致撥下珠離梁-4，其算理是4+1=4+5-4，這就是升五加的口訣︰加五減湊，又如破五減的5-1，外珠不夠減，又不涉及到高一檔（退位），而應該撥上珠離梁-5卻多減4致下珠靠梁+4，其算理是5-1=5-5+4這就是破五減的口訣︰減五加湊，至於直減補進十的加法和直加補退十的減法其原理均同上述。而第四類的破五進十加法和退十升五減法更是玄妙，如6+6，本檔個位數檔外珠不夠加，左檔撥一下珠靠梁+10，形成多加4，應在本檔減4，但本檔下內珠不夠減，只能減上內珠，即-5，又多減1還需撥下珠靠梁加1。其算理是6+6=6+10-5+1可謂加中有減，減中又有加；退十升五減法，如12-6，本檔（個位數檔）外珠不夠減，左檔撥一下珠離梁-10，形成多減4，應在本檔加4，但本檔下珠不夠加，只能加上外珠即加5，又多加1，還需撥下珠離梁-1算理是12-6=12+5-1。可謂減中有加，加中又有減。乘法實際上是相同的數相加的運算，珠算的多位數乘法是利用九九口訣先進行多位數乘于一位數求積，爾后把各積相加。而補數乘法是一種以減代乘的運算方法，當一個數乘于或25時，可以視同該數除以0、2、0。04這是以除代乘。除法實際上是相同數相減的運算，先估出正確的商，採用九九口訣求出商與除數的積作為減數，以被除數作為被減數，進行減法運算得出差，從累減除法中更能說明以乘、減代除；當一數除以5或25時，可以視同該數乘以0、2、0。04，這是以乘代除。而商九法實際上是加除方法。“數近下加除，加到夠減時，左位上商數，不隔減除數。”這是以加、減代除。珠算的乘法和除法的運算雖有五花八門，方法頗多，但其基本原理是乘法採用九九口訣與加法；除法採用九九口訣與減法。乘除法為互逆運算，其矛盾對立已體現下加與減之中，而以九九口訣得以聯繫，並達到統一。

假如把算盤當作太極，那么撥到上珠和下珠就是兩儀，而加減乘除則成為四象，如與減、乘與除在撥珠運算中形成兩種對立的趨勢，方面之間又同一又鬥爭的矛盾運動過程，矛盾的對立面是互相倚賴，而且互相滲透、互相貫通的，這就進一步表現了對立面之間的聯繫是內在的、有機的聯繫。

“當我們深思熟慮地考察自然界或人類歷史或我們自已的精神活動的時侯，首先呈現下我們眼前的是一幅由種種聯繫和互相作用無窮無盡地交織起來的畫面。”唯物辨証法要理論地再現這幅畫面，就自然要把事物、現象的普遍聯繫看作是科學世界觀和矛盾論的第一特徵。正是在這個前提下，筆者粗淺分析珠算和辨証法之的聯繫，其目的在于拋磚引玉進一步開發對這控帶四時，經緯三才的珠算哲學的探索。

本文發表於2006年12月19日在台北市舉辦之海峽兩岸珠算教學觀摩研討會