《優因數學》的產生、發展與深遠意義

郭 啟 庶

一

任何事物的產生和發展都不是無緣無故的，與時間、空間的各種環境條件都有關係，有著歷史的必然性。優因數學也是這樣。

從20世紀開始，中國學校數學教育全盤西化，先仿效日本（日本也是搬西方的），繼而仿效美國，再照搬蘇聯……教材教法全部照搬，甚至採用西文原版教材。

雖然學校課堂上筆算一統，從學校出來的人人都會筆算，但在實用中，日常生活、財經商貿等等，人們卻都是採用珠算，沒有使用筆算的。雖然這其中不可能不產生疑惑，但人們來不及深究其所以然，見怪不怪，隨大流就是了；個別人也只是暗中研究珠算。

但是，這種現象畢竟隱藏著有朝一日必然會爆發出來的問題，珠算為什麼會這麼有用？為什麼數學課程中不能夠運用？必然會有人探索、追根溯源的，只看時機了。

20世紀70年代末，有了“科學是第一生產力”的環境，研究珠算的人也有了希望，申請成立了珠算協會。史無前例的有了中國珠算的學術組織和學術研究。有關珠算的學術研究活動開展了起來，而且活動面越來越廣泛。從追溯過去的改進學校珠算教學，到從一年級開始在數學課堂學習珠算的“三算結合教學”都進行了研究；珠算協會成立後廣泛研究了在社會面上的珠算活動和業餘教育，研究了國內外形成的廣泛的珠心算教育活動……逐漸引向研究中國傳統數學（珠算）優越性之所以然的基礎理論。

進一步關於中國傳統數學的研究也逐漸展開。特別吳文俊先生以其世界頂尖級數學家對數學理解的深刻和睿智，提出了機械化數學概念。要機器代替部分的腦力勞動，就需要機械化思想方法。所謂機械化，無非就是刻板化和規格化。讓機器解答問題，必須先將問題刻板化、規格化，使得每前進一步，都有一個確定的必須選擇的下一步，直到問題解決。機械化數學是相對於公理化數學說的。在“數學發展的歷史過程中，公理化的演繹傾向與機械化的演算法傾向往往互為消長交替成為當時數學的主流。由於電腦的出現，為後一種傾向帶來了新的生命力。”[1]吳文俊先生發現，中國傳統數學基本上是一種機械化數學，因而是世界數學發展的兩大源泉之一；機械化思想方法是中國古代數學發展的主線，電子電腦時代，正需要機械化數學，所以電腦的迅速發展普及，將為中國傳統機械化數學的發揚光大創造極好的機遇。

吳文俊院士在為《中國數學歷史》寫的序言中具體指出：“以《九章算術》為代表的中國古代傳統數學，與以歐幾裏得《幾何原本》為代表的西方數學，代表著兩種不同的體系，其思想方法各呈特色。前者著重應用與計算，其成果往往是以演算法的形式表達。後者著重概念與推理，其成果一般以定理的形式表達。前者的思維方式是構造性與機械化的，而後者則往往偏重於存在唯一以及概念之間相互關係等非構造性的純邏輯思維。前者由於它機械化的思維方式與演算法形式的具體成果，從思想上與方法上正切合於電腦出現後的時代要求。”

回顧整個20世紀，中國國寶珠算在學校裏，並沒有受到數學教育主事者應有的重視和公正地對待。例如，雖然受到由於學生將來就業不得不用珠算的壓力，小學不得不開設珠算課，但不作為數學課程內容，不是由數學教師任課，可教學可不教學，升學也不考珠算；教學計劃中珠算課時越來越少，到了2000年在數學課程標準中完全剔除了珠算；此外，大學裏沒有珠算專業、學位，全國也沒有研究珠算的專門機構……總之，造成了一些人輕視珠算、輕視中國傳統數學的誤解，似乎珠算是雕蟲小技，不足挂齒。事實上具體分析起來，排斥珠算的學者、教育者，只是因為他沒有學習、研究珠算，不知道珠算；而不是因為他科學論證了珠算對數學教育有什麼不利，或者找到了比珠算更好的數學教育利器等等才輕視珠算的。

其實，學校數學課程照搬西方那一套教學知識結構，是16～17世紀在歐洲主要因為採用中國發明的“十進位值制”和印度數碼符號，以及數學載體實施符號化等等比較優良的基因、範式編織而成的，比之西歐歷史上（例如採用羅馬數字的累數算）大大簡化了，從而傳遍全世界。但拿電子電腦資訊時代的眼光來看，這一套教學知識結構並非處處簡易無比、完美無缺，或者十分先進、現代化，一些地方已經過時了。“不識廬山真面目，只緣身在廬山中。”如果，不囿於原來數學課程知識結構的成例，走出習慣圈外，就會發現它有諸多不足，繁瑣、中看不中用，尤其不適應電子電腦時代的需要。

但是，直到現在國內外搞數學課改的人，很少有想到要改數學課程知識結構的，都是在老的課程知識結構的前提下考慮如何改進教學法。例如，一本新近出版的論述數學教育的權威著作,在論述數學教育出現的新動向和全球共識時，列出的是下面的平衡表[2]：

從表中所列出的東西方對比的多達各九項中，沒有一項是涉及數學課程知識結構的內容。換句話說，現在全世界的數學課程知識結構沒有改革的必要，也沒有引入中國傳統數學優秀思想方法的必要……要改革的僅是如何安排、要求教學的問題，即教學法問題；教學法東西方有差別，用一方否定另一方當然行不通，於是提出現在的任務就是要找它們的平衡點。

數學課程知識結構的決定性作用是顯而易見的。例如，現在數學教學如果還採用西歐16世紀以前的那種羅馬數字累數算為基礎的知識結構，儘管你如何努力改革教材教法，能夠取得現今世界上甚至最差的那樣的教學效果嗎？為什麼現代就不需要從最重要、最有效的地方考慮數學課程改革呢？為什麼不去考慮數學課程知識結構如何進行改革呢！它真的完美無缺嗎？能夠適應電子電腦時代的需要嗎……

我們來看作為現行學校數學課程知識結構基礎的筆算，它雖然比羅馬數字累數算簡便易學，但比珠算繁難得多。阿拉伯數碼沒有計算功能，5＋3是多少，要死記硬背；而珠碼符號有計算功能，

憑藉阿拉伯數碼僅學會20以內減，就需要死記硬背162個式子（加減法表）；而珠算只要掌握26個算母，一切計算問題都解決了。　　

再看，筆算漫布式思想方法與電腦程式式思想方法是矛盾的；筆算需要漫布式的列豎式來進行計算，佔用儲存空間較多。按筆算豎式腦算既難又緩慢。

珠算程式式與電腦一致，運算模型與電腦運算模型相同：省儲存空間，不僅運算速度很快，而且適合腦算、適合電腦，是手腦機通用演算法模型。數學教學採用珠算，不僅可大大簡化計算，而且能夠自然的整合數學與電腦教學。　　如 37+52=79，用筆算、珠算、電腦三種方式來實現：

由上面的程式可以看出：筆算的運算模型與電腦是不同的，筆算豎式用了三個儲存單元A、B、C，而且3＋5＝8，7＋2＝9，還要靠死記硬背。珠算的運算模型、演算語言、程式與電腦是一致的；都是只用一個儲存單元A。而用筆算模型甚至解釋不通電腦語言的涵義，如A＝A＋52，說它是方程，解此方程，0＝52有什麼意義！可是電腦語句為什麼一定要這麼寫呢……而珠算則自然體現了電腦演算語言A＝A＋52的涵義（看上圖）：算盤A段的數，再＋52，得數還儲存在A段。用現行數學課本知識，之所以解釋不通電腦演算語言，原因就在筆算與電腦運算模型矛盾；而珠算與電腦運算模型是相同的。

再來看，中國科學院院士李大潛在談到“數學教育該走什麼路”的問題時反復講：“數學是一個整體的觀念非常重要”，“對於數學教學也應該努力按照數學是一個整體的精神來安排，使學生真正理解數學，掌握數學。把統一的數學劃分為支離破碎、沒有內在聯繫的若干個分散、零亂的‘知識點’，然後隨意的將它們組合、搭配起來形成各種各樣的‘拼盤’交給同學，是一種缺乏科學態度的做法，也很容易將同學引入歧途。”“掌握了數學的思想方法和精神實質，就可以由不多的幾個公式演繹出千變萬化的生動結論，顯示出無窮無盡的威力。”[3] 可是，現行數學課程標準、數學課本是“知識點的拼盤”還是“一個整體”？中國傳統數學代表作《九章算術》，雖然是246個應用題，依然採取“以率為綱”作整體處理。數學是關於數量和形的科學，怎樣來看它的整體呢？我們來看華羅庚論數學是從哪裡開始的？華羅庚說：數(sh'u)起源於數，如一、二、三、四、五....，一個、兩個、三個...。量(lia'ng)起源於量，先取一個單位作標準，然後一個單位一個單位地量。天下雖有各種不同的量，……但都必須通過數才能確切地把實際情況表達出來。”顯然，這裏講述的就是率思想方法，他講數學是運用率思想方法從頭講起的。　　

這麼基本、重要而有效的思想方法，現行中小學數學課程並沒有有意識的加以運用。因而無法改變“知識點的拼盤”的現象。　　

中、外數學家都齊聲讚歎“十進位值制”這一數學范式的高明、神奇的簡化作用，讚歎由於引用十進位值制的“阿拉伯數碼”，而使數學和數學教育發生了兩重天般的變化。但是，尚沒有從根本認識到數學基因、範式的普遍意義，未能充分發揮這種思想，提出數學教育的“基因分析法”。特別，中國數學教育研究者大多未從這個角度看珠算和中國傳統數學，從而不僅不積極引用，反而無端堅決地排斥它們。

電子電腦時代的到來，把以筆算為基礎的數學課程知識結構推到改革的歷史關口。

吳文俊研究發掘中國傳統數學而開創的機械化數學的理論，把中國傳統數學（珠算）提到它本應當有的理性認識高度。　　

西洋數學（筆算）與中國傳統數學（珠算）的碰撞；對珠算在實用中的優越性、珠算活動的認識、研究；對珠算所以然的半個世紀理論研究等等，促成發現了數學教學基因分析法。　　

國家改革開發、自主創新的環境，課改的社會需求提供了優因數學孕育生長的空間。　　

以上這四點，就是優因數學產生的主要根源。這其實是學校數學教育全盤西化近百年來隱藏的問題的必然噴發。

二

優因數學是從珠算研究中萌芽的。由零星經驗到理論化、系統化。珠算的應用優勢、珠算活動、三算結合教學中顯示的積極作用，雖然是零碎的，卻給人們以直覺：為什麼珠算這麼有用？這意味著什麼？

陳梓北教授在20世紀50年代就在思考這一問題，他提出“珠算是變而不是算”，就是珠算有自身的特點而不同於筆算；余介石教授於60年代提出珠算的“見子直撥法”，就是作珠算不要再拐向借助別的演算法（筆算）來說明，應當根據它本身特點確定演算法。

由數學教材中為何不能用珠算的問題，引起了對珠算基本機制的研究。

20世紀80年代研究發現：珠算與電子電腦原理一致，運算模型相同，系統相似，語言相應，程式相當，方法技巧可以共用；珠算是形象化的電腦，電腦是武裝以電子技術的珠算；珠算是現成的圖靈機，與圖靈機等價，具有相同的計算能力。

另一方面，80～90年代，深入研究珠算本身，從基本思想方法（基因、範式）的層面，發現珠算在許多地方非常高明，在可比條件下至今仍然世界無匹。例如，珠算既解決了“位”可賦予不同值的問題，還解決了每個位元上的“記號”怎樣最美妙的設計問題；珠碼符號既體現累數制思想方法，又體現位值制思想方法，既形象，又直觀，數學思想方法內涵十分豐富；珠碼符號有計算功能，這是舉世無雙的記數符號的最突出的優越性；珠碼符號，只撥一下某算母符號，輸入、儲存、運算、輸出就一體完成了；珠碼符號，既可以寫畫出來表示程式，又可直接在算盤上用手指撥動操作（拼排珠碼自動得數，同時完成運算）；在各檔設置好了各種珠碼狀態，需要誰就將它撥出即可；珠碼符號省儲存空間，一檔就能夠撥出十個碼，而且這檔可以用了再用，從而可普適於手操算、腦算和電腦；珠碼符號二元示數，對立統一，處理正、負數自然天成，左右逢源，從而可使整個數學大為簡化；珠算符號、模型還有體現數位化幾何思想方法的圖形功能，操作珠算符號運算，從幾何的角度看就是在進行圖形變換，既能夠透徹地體現數形結合思想方法，又體現了電腦幾何的思想方法……珠算符號、模型是人類最高智慧的顯示之一，它的意義和價值比起單說位值制有過之而無不及。古今中外迄今再找不到第二例這麼科學，具有這麼多優點的相當的記數符號和運算模型。

從珠算進行基因、範式分析的收穫中受到啟發，進一步對整個中國傳統數學深入分析、研究，發現了不少有現代價值的基本思想方法，特別是發現了率思想方法對數學教學教育的無比價值。

人們為什麼沒有想到在數學課程中運用珠算、運用中國傳統數學的率思想方法，就是沒有想到對數學課程知識結構進行基因分析。運用“基因分析法”也發現了西洋數學中最有價值的思想方法——符號化思想方法。16～17世紀在西歐形成的數學課程知識結構，之所以傳遍全世界，符號化思想方法起著決定性的作用。　　

在這些研究收穫的基礎上，2000年3月初筆者寫出《採用ZSNJ演算法，實施數學教學“基因工程”》一篇長文。所謂ZSNJ演算法就是通過對中西演算法的“揚棄”，從集中體現中算(ZS)法特點的珠算(ZS)的強“基因”中繁衍出的手(S)算、腦(N)算、機(J)算通用的具有一體性和二元示數特性的簡捷(J)演算法模型。本文共有以下11個部分：　　

一、一位老科學家對教育的期望　　　　　　　　　　　　　　　　　1　
二、中國數學教學怎樣改革　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1　　
三、新思路：進行“基因”分析　　　　　　　　　　　　　　　　　2　　
四、阿拉伯數碼沒有計算功能，“筆算模型”不適用於電腦　　　　   3　　
五、珠算具有強“基因”，將其符號化功能強大優越無比　　　　　　6　　
六、腦算是智力核心，採用“筆算模型”是死記硬背的根源　　　　　10　
七、電腦運算模型、原理機制均與“筆算體系”不同　　　　　　   　11　
八、實施數學教學“基因工程”：從手撥珠算起步　　　　　　　　　15　九、“基因工程”裏的腦算和電腦　　　　　　　　　　　　　　   　20　十、ZSNJ演算法　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  25　十一、運用ZSNJ演算法，實施數學教學“基因工程”　　　　　　　  27

文章最後說明：特別，珠算是中華的國粹，現在，我們從其中發掘出數學、演算法的強“基因”，發展成對今天的數學教育特別有效的ZSNJ演算法，是切實的真正的弘揚了中華優秀傳統文化，也是進行愛國主義教育的扎實的有說服力的教材。

ZSNJ演算法不僅能在數學教育上發揮巨大的作用，而且因為它是在現代科學技術環境裏對東西方數學、演算法“揚棄”的結果，既包括著古老科學技術的強“基因”，又直通最先進的電腦資訊科學技術。所以，無論從其具有一般意義的哲學思想方法來看，或是從其具體原理、法則、操作技術方面來看，無論從教學或是從科研來看，它都具有積極開拓的意義。

實施數學教學“基因工程”，憑藉有計算功能的珠碼符號運算，採用ZSNJ演算法，將會同當年採用阿拉伯數碼和筆算一樣，具有歷史意義、世界意義。

筆者感到這是一項大的系統工程，僅僅一篇論文，是難以論述清楚的。尤其，只有“基因工程”的基本思想還不夠，必須對古今中外的數學教學發展情況進行分析研究，從正反面經驗中看到數學課程知識結構採用優秀基因、範式的決定性意義；還應當給出藍圖，方可奠定實施此教學基因工程的基礎。於是筆者接著進行系統研究，寫作《數學教學優因工程》一書，主要包括中國傳統數學的珠算符號、模型，率思想方法，以及西洋數學的符號化思想方法等強基因、範式的論述和運用，直到2005年7月完稿，約80萬字。分為下面的九章：　　

第一章 歷史上的歐洲數學及其教學
第二章 中國古代及近代的數學及數學教育
第三章 20世紀中國數學教學概論
第四章 數學教學的“基因”分析法
第五章 珠算“基因”
第六章 率思想方法
第七章 幼稚園數學教學優因工程
第八章 小學數學教學優因工程
第九章 中學數學教學優因工程

顯然，只停留在著作，進行論述、宣傳道理是不夠的，必須開展教學實驗。於是從2001年底開始，編著教材；從2002年下學期開始教學實驗，從開始時的3個實驗班，到目前的30多個班。現在，教材已經編出第8冊（準備編出九年義務教育的數學教材18冊），最先實驗的班已經到四年級。從2004年開始正式採用“優因數學”這一名稱，來概括這一數學課程知識結構和教學實驗。

結合教學實驗編寫教材，是一個不斷完善的過程，有更精細的發現，措施也更具體了。如以珠算符號模型、率思想方法、符號化思想方法為基礎，已經發現並總結出至少8項強有力的根本簡化措施（見專文）；實驗效果比預料的好，3年就完成了原來6年的教學任務（見專文）。

三

“優因數學”是一項自主創新工程，是一項有遠大研究發展前途的科技教育事業，會惠及億萬子孫後代。在《運用ZSNJ演算法，實施數學教學“基因工程》一文中曾經舉過兩例：

其一，在農業上，很注重改良品種而不只是注意改善種植、管理技術。袁隆平改良水稻品種，有多麼大的作用，農業科技界對其成果給予了多麼高的評價！教育教學上有沒有“改良品種”的問題？顯然，各課程的教學理當有“改良品種”（改進課程知識結構）的問題，而不只是改善“種植、管理技術”，即不只是改善教學方法或改變教學時間。在課程教學上“改良品種”的功效不亞於農業上的改良品種，幾億學生節約時間、提高質量，同水稻提高質量、產量的意義相當，一者是精神形式，一者是物質形式而已。教育界是不是也應當倡導“改良品種”，從“基因”上下功夫，培育“新品種”？道理是明擺著的。

其二，關於中小學開設“資訊技術課”是人們關注的焦點，1999年就曾有教育部一基礎教育負責人答記者問指出：“以電腦和網路技術為核心的現代技術的不斷發展”必須“改變以往按步就班推進的模式，以跳躍式的發展模式使中小學資訊技術教育邁上一個新的臺階。”並規定了日程表：小學在2003～2010年，初中在2001～2005年，高中在2001年完成開設資訊技術必修課。小學從三或四年級開始，課時一般為68至136學時，“側重對學習、使用電腦的興趣和意識的培養。”“中國現有中小學校69萬所，中小學生2億多人，這意味著巨大的需求，同時也意味著嚴峻的挑戰，面臨各種困難。”[5]記者還算了一筆賬：兩億學生目前只擁有電腦100萬台，專職教師7萬名；按5%的學生接受電腦教育，人機比為200:1，生師比是20000:7。於是，資訊技術教育須要“做沸水中跳出的青蛙”。

顯然，這裏仍存在著許多問題，例如，2010年開資訊技術課的小學，那麼這10年間就不學習資訊技術了嗎（10年以後資訊技術又發展成什麼樣，可想而知）？只有5%的學生接受電腦教育，另外95%能停止、中斷或不接觸資訊技術教育嗎（因為即便現行數學課有關方法也是與電腦矛盾的，無法借助別的課程進行）？小學三或四年級開始，在這以前呢，就不牽涉資訊技術教育嗎？68至136學時就能培養起學生“對學習、使用電腦的興趣和意識”嗎？還有，若平均10人一台機器，需2000萬台，何時能裝備起這麼多機器，缺乏機器就不能進行資訊技術教育了嗎……

如果換一個思路，數學教育採用“優因數學”就不存在上述這些問題，隨著數學教育的進行，任何時候都在進行一定的資訊技術教育，只不過是用手、腦直接實施演算法或進行有關的資訊技術操作。一旦有了電腦，對電腦原理或編程方法技巧已是水到渠成，這時“鳥槍換炮”，可以憑藉電子技術實施演算法、進行資訊技術操作，速度和儲存量等等不可同日而語，豈不感到十分有趣！而且具體到一定的演算語言，也容易理解操作指令、原理和編程方法，還可以分享ZSNJ演算法之手算、腦算解題時的方法技巧，豈不樂哉。

孫中山先生曾經感慨地說過：“知難行易。”在某些情況下確實如此。優因數學教學實驗中就有這種情況。真正認識到位了，做起來並不難。例如五龍口實驗小學，校長、教師都相信科研興校，原來在活動課稿過珠心算；也曾經把珠心算引入數學課堂，用珠心算替代筆算；但感到這樣做遠不夠，於是最先開展優因數學教學實驗，取得了一個接一個的激動人心的好效果，學校也由200多學生發展到800多學生，成了全市、全省甚至全國聞名的學校；事實說明，只要認識到了，做起來、搞成功，不是難事，往往比預料的效果還好（詳見專文）。再如，先鋒學校，由於校長具有強烈的改革創新意識，在語文、外語等方面都取得了顯著成績，於是想要數學教改也創新局面，遍訪全國各地各種數學課改，接觸到了“優因數學”後，覺得與其“納容東西智慧，傳承中華文明”的先鋒教育理念共識一體，認識到“優因數學”有創紀元的意義，將在歷史上留下厚重的一筆，從而開展實驗力度很大，一年級下學期中途改為“優因數學”，不惜一切人力物力投入，在一年半內開起了18個實驗班，取得了預想的效果；原來有的家長不理解，學校積極宣傳、解釋、組織教學彙報活動，使得許多家長心悅誠服、大力支持學校開展教學實驗。類似的情況還發生在山高學校……

事實證明，是時代孕育產生了優因數學；而且現在更有了成長的條件。剛剛召開的全國科技大會，提出“建設創新型國家”的概念和任務。胡錦濤講話指出：“建設創新型國家，必須大力發揚中華文化的優良傳統，大力增強全民族的自強自尊精神，大力增強全社會的創造活力。”“要大力弘揚以愛國主義為核心的民族精神和以改革創新為核心的時代精神，增強民族自信心和自豪感，增強不懈奮鬥、勇於攀登世界科技高峰的信心和勇氣。要在全社會培養創新意識，倡導創新精神，完善創新機制，大力提倡敢為人先、敢冒風險的精神，大力倡導敢於創新、勇於競爭和寬容失敗的精神，努力營造鼓勵科技人員創新、支援科技人員實現創新的有利條件。”這些話是我們多麼殷切的企盼啊！數學課程知識結構全盤照搬100多年，粗暴地排斥中國傳統數學優秀思想方法；儘管“優因數學”非常有道理，是唯一大力發揚中華文化的優良傳統的數學教育，簡易、高效而現代化，實驗效果無與倫比地好……還是屢屢遭遇某些人拿種種條條框框的腰斬；研究人員、實驗學校校長、老師無不是冒著“摘掉烏紗帽”、“評不上職稱”等等的風險在進行工作、甚至在做“地下工作”；在走高速公路到達目的後，仍然得不到承認，不得不折回到出發地又從羊腸小路再步行走一趟（考他們原來的那麼落後的一套）才被承認到達，白白地浪費了大量的大好時光，加重了學生的負擔！

不難推測，今後的“優因數學”研究、實驗，免不了還會遇到種種阻撓或曲折，但在“建設創新型國家”的大環境中，阻撓者畢竟沒有法理依據、沒有了輿論優勢，習慣是擋不住科學的！優因數學幸運，遇上了歷史機遇，“天時”難得！又有了一批優因數學研究者、教育改革者、校長和教師，具備“人和”的條件！現在就看“地利”了，中國這麼大，世界那麼大，東方不亮西方亮！天時、人和、地利齊備，大事該成！優因數學幸甚！優因數學的發展前景遠大，無限美好光明，前途無量！

（完稿於2006.1.12）